二次函数 · 第(2)问互动讲解

原题

在平面直角坐标系 xOy 中，点 (1, m)、(3, n) 在抛物线 y = ax² + bx + c（a > 0）上，设抛物线的对称轴为 x = t．

（1）当 c = 2，m = n 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；

（2）点 (x₀, m)（x₀ ≠ 1）在抛物线上，若 m < n < c，求 t 的取值范围及 x₀ 的取值范围．本页讲解

（1）参考答案

令 x = 0，得 y = c = 2，所以抛物线与 y 轴交于点 (0, 2)；
由 m = n 知 (1, m)、(3, n) 关于对称轴对称，故 t = (1 + 3) / 2 = 2．

a > 0 ⟹ 开口向上 (1, m) 与 (x₀, m) 等高 ⟹ 关于 x = t 对称 c 就是 x = 0 处的函数值

拖动图中虚线，或使用下方滑杆

绿带＝t 的合法区间 3/2 < t < 2　·　彩色虚线段的长度＝该点到对称轴的距离

对称轴 t 1.75 开口 a 0.30

改变 a 只改变开口大小，不改变结论

A(1, m)

0.75

|1 − t|

m = 0.37

P(x₀, m)

0.75

|x₀ − t|

m = 0.37

B(3, n)

1.25

|3 − t|

n = 0.67

D(0, c)

1.75

|0 − t|

c = 1.12

把两个范围画在数轴上（也可直接拖动）

t 的活动范围 (3/2, 2)，经 x₀ = 2t − 1 映射为 (2, 3)．

法一

到对称轴的距离法

a > 0 时，点离对称轴越远，纵坐标越大；离轴一样远，纵坐标就相等．把“比大小”变成“比距离”．

写成顶点式，纵坐标只由“到轴的距离”决定：

\[ y=a(x-t)^2+k \qquad (a>0) \]

\(|x-t|\) 越大 ⟺ \(y\) 越大；\(|x-t|\) 相等 ⟺ \(y\) 相等

m < n ⟺ 点 1 比点 3 更靠近对称轴：

\[ \begin{aligned} &|1-t|<|3-t| \;\Longleftrightarrow\; (1-t)^2<(3-t)^2\\ &\Longleftrightarrow\; 1-2t<9-6t \;\Longleftrightarrow\; t<2 \end{aligned} \]

n < c ⟺ 点 3 比点 0（y 轴交点）更靠近对称轴：

\[ \begin{aligned} &|3-t|<|0-t| \;\Longleftrightarrow\; (3-t)^2<t^2\\ &\Longleftrightarrow\; 9-6t<0 \;\Longleftrightarrow\; t>\tfrac{3}{2} \end{aligned} \]

合并：

\[ \frac{3}{2}<t<2 \]

在左图里看：t 必须同时“离 1 比离 3 近”且“离 3 比离 0 近”——绿色竖带正是这两条的交集．

(1, m) 与 (x₀, m) 纵坐标相同，是一对“等高点”，必关于 x = t 对称：

\[ t=\frac{1+x_0}{2} \;\Longleftrightarrow\; x_0=2t-1 \]

由 3/2 < t < 2 得：

\[ 2<x_0<3 \]

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法二

临界位置（图象）法

让“等高点”说话：对称轴一旦经过两点的中点，两点就等高．把不等号变成“轴在谁那一侧”．

a > 0 时，轴离谁近，谁的函数值就小；轴正好在两点中点时，两点等高．

中点，就是“相等”的临界位置

三个点横坐标是 0、1、3，两两中点为：

\[ \frac{0+3}{2}=\frac{3}{2} \]此时 n = c

\[ \frac{1+3}{2}=2 \]此时 m = n

要 n < c，轴必须比“正中”更靠近 3：t > 3/2．

要 m < n，轴必须比“正中”更靠近 1：t < 2．

\[ \frac{3}{2}<t<2 \]

t 同时是 1 与 x₀ 的中点，所以 x₀ 是 t 的“镜像”：

\[ x_0=2t-1 \]

t 从 3/2 走到 2，x₀ 就从 2 走到 3：

\[ 2<x_0<3 \]

动手验证：在左图把 t 拖到 1.5 附近，会看到 n 与 c 两条横线合并；拖到 2 附近，m 与 n 合并．一旦越界，最上方那条判语立刻变红．

拖出绿带 ⟹ 不等式失效（红色提示）

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法三

代数法

用一般式 y = ax² + bx + c 把三个函数值都写成 a、b、c，作差定号——最稳的通法，不需要看图。

点在图象上，横坐标代入即可（x = 0 时 y = c）：

\[ m=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c \]

\[ n=9a+3b+c,\qquad c=c \]

由 m < n 作差（注意 a > 0，才能除以 2a 不变号）：

\[ n-m=(9a+3b+c)-(a+b+c)=8a+2b>0 \]

\[ \Longleftrightarrow\; 4a+b>0 \;\Longleftrightarrow\; b>-4a \]

又 t = −b/(2a)，所以

\[ t=-\frac{b}{2a}<\frac{4a}{2a}=2 \]

由 n < c 作差：

\[ n-c=9a+3b<0 \;\Longleftrightarrow\; 3a+b<0 \;\Longleftrightarrow\; b<-3a \]

\[ \Longrightarrow\; t=-\frac{b}{2a}>\frac{3}{2} \]

两个方向一夹，t 只能落在中间：

\[ \frac{3}{2}<t<2 \]

顺带一提：第三个条件 m < c 是自动成立的——它等价于 t > 1/2，已被 3/2 < t 包含．

再求 x₀：把 x₀ 代入并与 m 作差，

\[ \begin{aligned} &ax_0^2+bx_0+c=a+b+c\\ &\Longleftrightarrow\; a(x_0^2-1)+b(x_0-1)=0 \end{aligned} \]

\[ (x_0-1)\bigl[\,a(x_0+1)+b\,\bigr]=0 \]

因为 x₀ ≠ 1，只能取第二个因式为零：

\[ x_0+1=-\frac{b}{a} \;\Longleftrightarrow\; x_0=-\frac{b}{a}-1=2t-1 \]

由 3/2 < t < 2 得：

\[ 2<x_0<3 \]

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法四

顶点式

用 y = a(x−t)² + k 直接写三个值，作差后用平方差公式——顺便说明答案与 a、k 无关．

设 y = a(x − t)² + k，则三点纵坐标为：

\[ m=a(1-t)^2+k,\qquad n=a(3-t)^2+k,\qquad c=at^2+k \]

m < n：

\[ \begin{aligned} &n-m=a\bigl[(3-t)^2-(1-t)^2\bigr]\\ &=a(4-2t)\cdot 2=4a(2-t)>0 \end{aligned} \]

因 a > 0，故 2 − t > 0，即 t < 2．

n < c：

\[ c-n=a\bigl[t^2-(3-t)^2\bigr]=a\cdot 3\cdot(2t-3)>0 \]

故 2t − 3 > 0，即 t > 3/2．

\[ \frac{3}{2}<t<2 \]

可以看到：作差时 k 被减掉、a 只作正因子——所以结论与顶点高低、开口大小都无关，只由 t 决定．

由 m 相等：

\[ a(1-t)^2=a(x_0-t)^2 \;\Longleftrightarrow\; (x_0-t)^2=(t-1)^2 \]

两根：x₀ = 1（舍去）或 x₀ = 2t − 1．由 3/2 < t < 2：

\[ 2<x_0<3 \]

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结论

t \(\dfrac{3}{2}<t<2\)

x₀ \(2<x_0<3\)

两端都不取等号：t = 3/2 时 n = c；t = 2 时 m = n．